函数的奇偶性（高中）
2014-03-14 点击数：
函数的奇偶性
一、教学内容的地位和作用
本节课的内容是教材第三章第四节函数的基本性质的第一课时：函数奇偶性的概念和图像特征。奇偶性是函数一条重要的基本性质，教材从学生熟悉的入手，从特殊到一般，从具体到抽象，介绍了函数的奇偶性的概念和图像特征。从知识结构看，函数的奇偶性既是函数概念的延续和拓展，又是后面研究幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的基础。因此，本节课起着承上启下的重要作用。
二、教学目标
1．理解偶函数与奇函数的概念和图像特征，学会判断函数奇偶性的方法；
2．通过不断设置问题和学生思考问题、解决问题的过程，培养学生观察、类比、归纳
的能力，同时渗透“数形结合”及“从特殊到一般”的思想方法；
3．在学习中，体验数学的美感，培养善于观察、总结的良好习惯和严谨的态度。
三、教学重点、难点
教学重点：偶函数和奇函数的概念、判断及其图像特征
教学难点：奇、偶函数概念的形成和函数的奇偶性的判断
四、教学方法
在教法上，根据本节课内容，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体的指导思想，采用启发式教学法和发展问题教学法。在学法上，通过创设问题情景，诱导学生思考，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力。
五、教学过程
（一）新课引入
我们有过许多对“美”的感受。如“对称美”就大量存在于我们的生活中。（PPT演示对称图片，如蝴蝶，扑克牌，麦当劳标志等）
提问：什么是轴对称图形？
什么是中心对称图形？
【解答：在平面内，如果一个图形绕着一条直线翻折1800后与原图形重合，那么这个图形关于这条直线成轴对称图形。这条直线叫做该图形的对称轴。
如果一个图形绕着一个点旋转1800后与原图形重合，那么这个图形关于这个点成中心对称图形。这个点叫做该图形的对称中心。】
在数学学习中，我们也可以感受到这种对称美。PPT演示函数图象
① ②
③ ④
（二）概念形成
下面我们以为例先来研究轴对称图形。
提问：在平面直角坐标系中，则函数图像关于y轴对称。那么如何用解析式中的数量关系来描述函数关于y轴对称的特性?
给学生一些提示：让学生分别求出时的函数值，得出对任意，所以具有的特性。
给出概念：对任意实数，都有，那么就把函数叫做偶函数。
概念的理解：思考以下问题
（1）判断函数是否为偶函数？ （否，定义域关于原点不对称）
（2）判断函数是否为偶函数？ （否，不满足任意）
根据上述例题的讲解，让学生思考概念中所包含的要点：
要点一：都有意义.-----定义域关于原点对称。
要点二：任意，都有。强调任意性
提问：定义域关于原点对称，是函数为偶函数的什么条件？ 学生：（必要非充分条件）
（三）概念深化
【例1】求证：函数为偶函数。
思考：如何判断一个函数是否为偶函数？[学生小组讨论]
1、先看定义域是否关于原点对称。
2、再验证是否对任意都成立。（突出“任意”、“都”。）
提问：如果这个函数不是偶函数，你如何来说明理由？ [学生小组讨论]
1、定义域关于原点不对称，则函数不是偶函数。
2、定义域关于原点对称，若存在某个，使得，则函数不是偶函数。
（突出举具体的反例。）
【例2】判断下列函数是否为偶函数？并说明理由。
（1）
（2）
（3）
[学生口答教师板演]
提问：偶函数的图像有什么特点？[再强调一下]
（如果函数是偶函数，那么函数的图像关于y轴对称，反之，如果一个函数的图像关于y轴成轴对称图形，那么这个函数必是偶函数。）
【例3】如图，已知偶函数在轴左侧的图像，作出在轴右侧的图像。
（四）类比研究
刚才我们研究了轴对称图形，接下来我们研究中心对称图形。（PPT演示图像）
先看一个简单的问题：
让学生对照偶函数的概念，用类比的方法讨论分析给出奇函数的概念并给出概念分析，判断函数是奇函数的方法及奇函数的图像特点。
奇函数概念：对任意实数，都有，那么就把函数叫做奇函数。
要点分析：①定义域关于原点对称；②对任意，都有。
判断奇函数步骤：①求定义域，是否关于原点对称；②分析是否恒成立。
奇函数图象特征：关于原点中心对称
[类比学习，学生讨论教师总结，课件投影列出对照表]
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函数 |
偶函数 |
奇函数 |
|
定义域 |
定义域关于原点对称是奇、偶函数的必要条件 |
|
|
概念 |
对于任意实数，都有 |
对于任意实数，都有 |
|
图像 |
偶函数的充要条件是函数图象关于轴对称 |
奇函数的充要条件是函数图象关于原点中心对称 |
【变式】将上述【例3】中的偶函数改成奇函数，作出相应图像。
（五）难点突破
【例4】判断下列函数的奇偶性，并说明理由。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
第（1）小题板书来示范解题的步骤，其他例题让几个学生板演，其余学生在下面自己完成，针对板演的同学所出现的步骤上的问题进行及时纠正，适时引导学生做好总结归纳。
小结：判断函数的奇偶性就是研究函数是奇函数还是偶函数。
总结判断函数奇偶性的步骤：【学生总结】
①判断定义域是否关于原点对称；
②分析 与的关系。
提问：判断函数奇偶性的结果有哪几种？
学生总结回答：对于一个函数来说,它的奇偶性有四种可能：
① 是奇函但不是偶函数,
② 是偶函数不是奇函数,
③ 既是奇函数又是偶函数,
④ 既不是奇函数又不是偶函数
（六）课堂小结
让学生从知识，方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结，教师作补充
1、两个概念：对于定义域内的任意一个,
如果都有为奇函数
如果都有为偶函数
2、两个性质：
一个函数为奇函数它的图象关于原点对称
一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称
3、判断函数的奇偶性：先看定义域，后验关系式。
①判断定义域是否关于原点对称；②分析 与的关系：若则为偶函数，若则为奇函数；③作出结论。
4、按函数的奇偶性可以把函数分为四类：
(1)奇函数;
(2)偶函数;
(3)既奇又偶函数 ;
(4)非奇非偶函数.
六、板书设计
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一、偶函数概念 。。。。。。。。。 要点1：。。。。 要点2：。。。。 判断偶函数步骤： 1、。。。。。 2、。。。。。。 偶函数图像特征 。。。。。。。。。 |
函数的奇偶性 二、奇函数概念 。。。。。。。 奇函数图像特征 。。。。。。 函数奇偶性的分类： 1、。。。。 2、。。。。 3、。。。。 4、。。。。 |
【例3】
【例4】 1、 解：………………. 2、。。。。
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七、课后作业
【分层作业】
层次一：教材，练习3.4（1） 1,2,3,4,5,6
层次二：教材，练习3.4（1） 3,4,5
练习册,习题3,4 A组 1,2,3,4 B组 2,3
【思考题】
1. 若是奇函数,则的值等于多少?
2. 既是奇函数又是偶函数的解析式能求出来吗? 这样的函数有多少个?
八、本教案说明及反思
本节课在素材的选取上，力求贴近生活实际，并且就地取材，创设学生熟悉的感兴趣的情境，使学生能在轻松、愉快的教学情境中学习有用的数学，同时也能运用数学知识来分析问题和解决问题。教案的设计“以人为本，以学定教”，教师始终扮演的是组织者、引导者、参与者的角色，通过问题教学法，变“教的课堂”为“学的课堂”，学生成为课堂学习真正的主人。通过布置分层练习，面对全体学生，使不同的人在数学上有不同的发展，让不同的学生在数学学习上都能成功；倡导合作式学习，通过学生小组合作设计问题、小组交流解决问题的方式，提高学生合作学习、主动探究的能力，而且大大促进了学生对知识的理解和灵活运用。
【教学反思】成功的地方： 对概念分析的比较透彻，学生“数”“形”结合理解较深刻
不足的，应改进的地方： 课堂时间紧张，课堂练习不足，如何优化，思考中。。。。。。
学生作业反馈： 证明一个函数不是奇函数、不是偶函数，很不熟练，再加强练习
